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第一章 数制与编码(Number System and Codes)
1970-01-01 08:00:00 作者： 本站 来源： 本站整理 浏览次数： 196 文字大小：【 大】【 中】【 小】
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一、数字的进制
1、十进制数(Decimal Number) |
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十进制数是日常生活中使用最广的计数制。组成十进制数的符号有0，1，2，3，4，5，6，7，8，9等共十个符号，我们称这些符号为数码。
在十进制中，每一位有0～9共十个数码，所以计数的基数为10。超过9就必须用多位数来表示。十进制数的运算遵循加法时：“逢十进一”，减法时：“借一当十”。
十进制数中，数码的位置不同，所表示的值就不相同。如：
式中，每个对应的数码有一个系数1000,100,10,1与之相对应，这个系数就叫做权或位权。
对于位一十进制数可表示为：
N10=an-1×10n-1＋an-2×10n-2＋…＋a1×101＋a0×100＋a-1×10-1＋a-2×10-2＋…＋a-m×10-m
= ai×10i |
式中：ai 为0～9中的位一数码；10为进制的基数；10的i次为第i位的权；m,n为正整数，n为整数部分的位数，m为小数部分的位数。 |
| 2、二进制数(Binary Number) |
与十进制相似，二进制数也遵循两个规则：
仅有两个不同的数码，即0,1；
进/借位规则为：逢二进一,借一当二。
对于任意一个二进制数可表示为：
| N2=bi×2i | 由于二进制数仅0,1两个数码，所以其运算规则比较简单，下现列出了二进制数进行加法和乘法的规则：
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加法 |
乘法 |
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0+0=0 |
0×0=0 |
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0+1=1 |
0×1=0 |
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0+1=1 |
1×0=0 |
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0+1=10 |
1×1=1 | 上表中式1+1=10中的红色为进位位。 |
| 3、十六进制(Hexadecimal Number) |
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二进制数在计算机系统中处理很方便，但当位数较多时，比较难记忆及书写，为了减小位数，通常将二进制数用十六进制表示。
十六进制是计算机系统中除二进制数之外使用较多的进制，其遵循的两个规则为：
其有0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E，F等共十六个数码，其分别对应于十进制数的0～15;
十六进制数的加减法的进／借位规则为：借一当十六，逢十六进一。
十六进制数同二进制数及十进制数一样，也可以写成展开式的形式。
在数制使用时，常将各种数制用简码来表示：如十进制数用D表示或省略；二进制用B来表示;十六进制数用H来表示。
如：十制数123表示为：123D或者123;二进制数1011表示为:1011B;十六进制数3A4表示为:3A4H。
在计算机中除上面讲到的二进制、十进制、十六进制外，常常还会讲到八进制数，这里就不讨论了。
下表列出了十进制0～16对应的二进制数和十六进制数。
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十进制数 |
二进制数 |
十六进制数 |
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0 |
0000 |
0 |
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1 |
0001 |
1 |
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2 |
0010 |
2 |
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3 |
0011 |
3 |
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4 |
0100 |
4 |
|
5 |
0101 |
5 |
|
6 |
0110 |
6 |
|
7 |
0111 |
7 |
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8 |
1000 |
8 |
|
9 |
1001 |
9 |
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10 |
1010 |
A |
|
11 |
1011 |
B |
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12 |
1100 |
C |
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13 |
1101 |
D |
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14 |
1110 |
E |
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15 |
1111 |
F |
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16 |
10000 |
10 |
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二、各种进制相互转换 |
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1、其它进制转换为十进制
方法是：将其它进制按权位展开，然后各项相加，就得到相应的十进制数。 |
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例1： N=（10110.101）B=（？）D
按权展开N=1*24+0*23+1*22+1*21+0*20+1*2-1+0*2-2+1*2-3
=16+4+2+0.5+0.125 =（22.625）D
2、 将十进制转换成其它进制
方法是： 它是分两部分进行的即整数部分和小数部分。 |
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整数部分：（基数除法）
把我们要转换的数除以新的进制的基数，把余数作为新进制的最低位；
把上一次得的商在除以新的进制基数，把余数作为新进制的次低位；
继续上一步,直到最后的商为零,这时的余数就是新进制的最高位.
小数部分： （基数乘法）
把要转换数的小数部分乘以新进制的基数，把得到的整数部分作为新进制小数部分的最高位
把上一步得的小数部分再乘以新进制的基数，把整数部分作为新进制小数部分的次高位；
继续上一步，直到小数部分变成零为止。或者达到预定的要求也可以。 |
| 例2 ： N=（68.125）D=（？）O |
整数部分 小数部分
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（68.125）D=（104.1）O
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3、二进制与八进制、十六进制的相互转换
二进制转换为八进制、十六进制:它们之间满足23和24的关系，因此把要转换的二进制从低位到高位每3位或4位一组，高位不足时在有效位前面添“0”，然后把每组二进制数转换成八进制或十六进制即可
八进制、十六进制转换为二进制时，把上面的过程逆过来即可。
例3：N=（C1B）H=（？）B
（C1B）H=1100/0001/1011=（110000011011）B | | |
| 三、二进制的四则运算 |
| 二进制也可以进行四则运算，它的运算规则如下所示： |
| 加运算
| 0+0=0，0+1=1，1+0=1，1+1=10 逢2进1 |
| 减运算
| 1-1=0，1-0=1，0-0=1，0-1=1（向高位借1当2） |
| 乘运算
| 0*0=0，0*1=0，1*0=0，1*1=1 |
| 除运算
| 二进制只有两个数（0，1），因此它的商是1或0. | |
| 例1：求（1011101）B与（0010011）B之和 |
例2： 求（1101）B与（0101）B的乘积 |
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| 通过例(1)我们再来介绍两个概念：半加和全加。 |
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半加是最低位的加数和被加数相加时，不考虑低位向本位进位。
全加是加数和被加数相加时，我们还要考虑低位向本位的进位。 | |
| 四、数的原码、反码及补码 |
1、数的表示形式
在生活中表示数的时候一般都是把正数前面加一个“+”，负数前面加一个“-”，但是在数字设备中，机器是不认识这些的，我们就把“+”用“0”表示，“-”用“1”表示。原码、反码和补码。这三种形式是怎样表示的呢？如下所示： |
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真值 |
原码 |
反码 |
补码 |
例1：求+12和-12八位原码、反码、补码形式
它们的原码分别为[+12]=00001100[-12]=100011
它们的反码分别为[+12]*=00001100
[-12]*=（28-1）+（-1100）=11110011
它们的补码分别为[+12]**=00001100
[-12]**=28+（-1100）=11110100 |
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正数 |
+X |
0X |
0X |
0X |
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负数 |
-X |
1X |
（2n-1）+X |
2n+X | |
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2、原码、反码及补码的算术运算
因为这三种数码表示法的形成规则不同，所以算术运算方法也不相同。 |
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原码：与我们的日常中算术运算相同。
反码：先转换为反码形式,再进行加减运算。它的减法可以按A反+[-B]反的形式进行.
补码：先转换为补码形式，再进行加减运算,其减法可以按A补+[-B]补进行. |
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3、溢出及补码运算中溢出的判断
溢出可以描述为运算结果大于数字设备的表示范围。这种现象应当作故障处理。
判断溢出是根据最高位的进位来判断的。 |
| 五、常用编码 |
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1、BCD编码
在数字系统中，各种数据要转换为二进制代码才能进行处理，而人们习惯于使用十进制数，所以在数字系统的输入输出中仍采用十进制数，这样就产生了用四位二进制数表示一位十进制数的方法，这种用于表示十进制数的二进制代码称为二－十进制代码（Binary Coded Decimal)，简称为BCD码。它具有二进制数的形式以满足数字系统的要求，又具有十进制的特点（只有十种有效状态）。在某些情况下，计算机也可以对这种形式的数直接进行运算。常见的BCD码表示有以下几种。
这是一种使用最广的BCD码，是一种有权码，其各位的权分别是（从最有效高位开始到最低有效位）8,4,2,1。
例 写出十进数563.97D对应的8421BCD码。
563.97D=0101 0110 0011 . 1001 01118421BCD
例 写出8421BCD码1101001.010118421BCD对应的十进制数。
1101001.010118421BCD＝0110 1001 . 0101 10008421BCD=69.58D
在使用8421BCD码时一定要注意其有效的编码仅十个，即：0000～1001。四位二进制数的其余六个编码1010,1011,1100,1101,1110,1111不是有效编码。
2421BCD码也是一种有权码，其从高位到低位的权分别为2,4,2,1，其也可以用四位二进制数来表示一位十进制数。其编码规则如下表。
2、余3码
余3码也是一种BCD码，但它是无权码，但由于每一个码对应的8421BCD码之间相差3,故称为余3码，其一般使用较少，故正须作一般性了解，具体的编码如下表。
常见BCD编码表
| 十进制数 |
8421BCD码 |
2421BCD码 |
余3码 |
| 0 |
0000 |
0000 |
0011 |
| 1 |
0001 |
0001 |
0100 |
| 2 |
0010 |
0010 |
0101 |
| 3 |
0011 |
0011 |
0110 |
| 4 |
0100 |
0100 |
0111 |
| 5 |
0101 |
1011 |
1000 |
| 6 |
0110 |
1100 |
1001 |
| 7 |
0111 |
1101 |
1010 |
| 8 |
1000 |
1110 |
1011 |
| 9 |
1001 |
1111 |
1100 |
| 10 |
0001,0000 |
0001,0000 |
0100,0011 |
3、格雷反射码（循环码）
格雷码是一种无权码，其特点是任意两个相邻的码之间只有一个数不同。另外由于最大数与最小数之间也仅一个数不同，故通常又叫格雷反射码或循环码。
| 十进制数 |
二进制数 |
格雷码 |
十进制数 |
二进制数 |
格雷码 |
| 0 |
0000 |
0000 |
8 |
1000 |
1100 |
| 1 |
0001 |
0001 |
9 |
1001 |
1101 |
| 2 |
0010 |
0011 |
10 |
1010 |
1111 |
| 3 |
0011 |
0010 |
11 |
1011 |
1110 |
| 4 |
0100 |
0110 |
12 |
1100 |
1010 |
| 5 |
0101 |
0111 |
13 |
1101 |
1011 |
| 6 |
0110 |
0101 |
14 |
1110 |
1001 |
| 7 |
0111 |
0100 |
15 |
1111 |
1000 | |
| 4、奇偶校验码 |
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在数据的存取、运算和传送过程中，难免会发生错误，把“1”错成“0”或把“0”错成“1”。奇偶校验码是一种能检验这种错误的代码。它分为两部分；信息位和奇偶校验位。
有奇数个“1”称为奇校验，有偶数个“1”则称为偶校验。 | | | | 责任编辑：
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